% 基础数学试卷 - 完整示例
% 包含：选择题、填空题、解答题、草稿纸
% 编译：xelatex 02-math-basic.tex

\documentclass{exam-zh}

% ===== 显示答案（教师版）=====
% 取消下面几行的注释可生成教师版
% \examsetup{
%   paren/show-paren = true,
%   question/show-answer = true,
%   solution/show-solution = show-stay,
%   question/show-points = true
% }

\begin{document}

% ===== 试卷抬头 =====
\title{2024年春季期中考试}
\subject{数学}
\maketitle

\information{
  姓名\underline{\hspace{6em}},
  班级\underline{\hspace{6em}},
  学号\underline{\hspace{6em}}
}

\begin{notice}
  \item 本试卷共 3 大题，满分 100 分，考试时间 120 分钟。
  \item 请用黑色签字笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
  \item 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
  \item 可以使用计算器。
\end{notice}

\vspace{1em}

% ===== 一、选择题 =====
\section{一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）}

\begin{question}
  已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$，$B = \{2, 3, 4\}$，则 $A \cap B = $ \paren[B]
  \begin{choices}
    \item $\{1\}$
    \item $\{2, 3\}$
    \item $\{1, 2, 3, 4\}$
    \item $\{4\}$
  \end{choices}
\end{question}

\begin{question}
  函数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$ 的最小值是\paren[A]
  \begin{choices}
    \item $0$
    \item $1$
    \item $-1$
    \item $2$
  \end{choices}
\end{question}

\begin{question}
  若 $\sin \alpha = \frac{1}{2}$，且 $\alpha$ 为锐角，则 $\alpha = $ \paren[C]
  \begin{choices}
    \item $15^\circ$
    \item $45^\circ$
    \item $30^\circ$
    \item $60^\circ$
  \end{choices}
\end{question}

\begin{question}
  已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (2, 4)$，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的关系是\paren[D]
  \begin{choices}
    \item 垂直
    \item 相反
    \item 相等
    \item 平行
  \end{choices}
\end{question}

\begin{question}
  不等式 $x^2 - 3x + 2 > 0$ 的解集是\paren[B]
  \begin{choices}
    \item $(-\infty, 1)$
    \item $(-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$
    \item $(1, 2)$
    \item $(2, +\infty)$
  \end{choices}
\end{question}

\begin{question}
  等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = 1$，$a_3 = 5$，则 $a_5 = $ \paren[D]
  \begin{choices}
    \item $7$
    \item $8$
    \item $10$
    \item $9$
  \end{choices}
\end{question}

\begin{question}
  已知函数 $f(x) = 2^x$，则 $f(-1) = $ \paren[A]
  \begin{choices}
    \item $\frac{1}{2}$
    \item $-2$
    \item $2$
    \item $-\frac{1}{2}$
  \end{choices}
\end{question}

\begin{question}
  圆 $x^2 + y^2 = 9$ 的半径是\paren[C]
  \begin{choices}
    \item $9$
    \item $\sqrt{3}$
    \item $3$
    \item $6$
  \end{choices}
\end{question}

\begin{question}
  下列函数中，在 $\mathbb{R}$ 上单调递增的是\paren[B]
  \begin{choices}
    \item $y = -x$
    \item $y = x + 1$
    \item $y = x^2$
    \item $y = \frac{1}{x}$
  \end{choices}
\end{question}

\begin{question}
  已知 $\log_2 8 = x$，则 $x = $ \paren[C]
  \begin{choices}
    \item $2$
    \item $4$
    \item $3$
    \item $8$
  \end{choices}
\end{question}


% ===== 二、填空题 =====
\section{二、填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）}
\examsetup{question/index = 0}

\begin{question}
  若 $f(x) = 3x + 1$，则 $f(2) = $ \fillin[7]。
\end{question}

\begin{question}
  圆周率 $\uppi$ 的值约为\fillin[3.14159]（保留五位小数）。
\end{question}

\begin{question}
  已知 $\tan \alpha = 1$，且 $\alpha$ 为锐角，则 $\alpha = $ \fillin[$45^\circ$] 。
\end{question}

\begin{question}
  方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的两根为 \fillin[2] 和 \fillin[3]。
\end{question}

\begin{question}
  若 $|x - 1| < 2$，则 $x$ 的取值范围是\fillin[$(-1, 3)$]。
\end{question}


% ===== 三、解答题 =====
\section{三、解答题（本题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）}
\examsetup{question/index = 0}

\begin{problem}[points = 8]
  计算：$(x + 2)(x - 2)$

  \begin{solution}
    解：

    $(x + 2)(x - 2)$ \score{2}

    $= x^2 - 2x + 2x - 4$ \score{3}

    $= x^2 - 4$ \score{3}
  \end{solution}
\end{problem}

\begin{problem}[points = 10]
  已知函数 $f(x) = x^2 - 4x + 3$。

  \begin{enumerate}
    \item 求 $f(x)$ 的对称轴；
    \item 求 $f(x)$ 的最小值。
  \end{enumerate}

  \begin{solution}
    \begin{enumerate}
      \item 对称轴为 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2$。\score{5}

      \item 配方得：$f(x) = (x - 2)^2 - 1$，\score{3}

      所以最小值为 $-1$。\score{2}
    \end{enumerate}
  \end{solution}
\end{problem}

\begin{problem}[points = 12]
  解不等式：$x^2 - 5x + 6 < 0$

  \begin{solution}
    解：

    因式分解得：$(x - 2)(x - 3) < 0$ \score{4}

    令 $(x - 2)(x - 3) = 0$，得 $x_1 = 2$，$x_2 = 3$ \score{3}

    画数轴，标出 $2$ 和 $3$ 两点，\score{2}

    当 $x \in (2, 3)$ 时，$(x - 2)(x - 3) < 0$ \score{2}

    答：不等式的解集为 $(2, 3)$。\score{1}
  \end{solution}
\end{problem}

\begin{problem}[points = 10]
  已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 2$，$a_3 = 6$。

  \begin{enumerate}
    \item 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；
    \item 求前 $n$ 项和 $S_n$。
  \end{enumerate}

  \begin{solution}
    \begin{enumerate}
      \item 设公差为 $d$，则 $a_3 = a_1 + 2d$，\score{2}

      即 $6 = 2 + 2d$，解得 $d = 2$。\score{2}

      所以 $a_n = a_1 + (n - 1)d = 2 + 2(n - 1) = 2n$。\score{1}

      \item $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(2 + 2n)}{2} = n(n + 1)$。\score{5}
    \end{enumerate}
  \end{solution}
\end{problem}


% ===== 草稿纸 =====
\newpage
\section*{草稿纸}

\draftpaper

\end{document}
